tarih önceki çağlarda aritmatik

Tarih Öncesi Çağlarda Aritmetik





Sayı ve biçime ilişkin kavramlarla tanışmamız Yontma Taş
Devrine kadar uzanır .Yüzbinlerce yıl boyunca insanlar , hayvanların yaşadığı
koşullardan pek


farklı olmayan bir biçimde mağaralarda yaşadılar
.Enerjilerinin çoğunu nerede yiyecek bulurlarsa onu toplamaya harcıyorlardı
.Avlanmak ve balık tutmak


için silahları , birbirleriyle anlaşmak için konuşma dilini
geliştirdiler .Yontma Taş Devrinin sonlarına doğru da yaratıcı sanatlarla
heykelcikler ve resimler


yaparak yaşamlarını renklendirdiler .Fransa ve İspanyadaki
yaklaşık 15.000 yıl öncesinin mağara duvar resimlerininayinsel bir anlamı
olabilir , ama bunun


ötesinde de üstün bir biçim anlayışı gösteriyorlardı .





Maden Devrinde ise bunun aksine ticaret öylesine gelişmişti
ki , yüzlerce mil uzaklıktaki köyler arasındaki ilişkilerin izleri fark
edilebiliyordu .Önce


bakırın daha sonra da tuncun eritilmesiyle bu metallerden
araçlar ve silahlar yapıldı .Bu da ticaretin ve yeni dillerin daha da
gelişmesine yol açtı .Bu


dillerdeki nesnelerin çoğunlukla somut ; yani elle tutulur
ve gözle görülür nesneleri belirtmesine ve az sayıda olmasına karşın bazı
sayısal terimler ortaya


çıktı .Benim düşüncelerime göre matematiğin ilk kez ortaya
çıktığı çağ Maden Çağıdır .





Ünlü bir matematikçi olan Adam Smithin insan aklının ürünü
en soyut düşünceler olarak tanımladığı sayısal terimlerin kullanılmaya
başlanması çok yavaş


oldu .Bunlar ilk ortaya çıktıklarında bir cismin sayısını
değil niteliğini gösteriyordu .Örneğin ; bir insan değil sadece insan kavramını
gösteriyordu


.Sayısal kavramların bu niteliksel kökenlerinin izleri hala
Yunanca ve Keltçe gibi bazı dillerdeki ikili terimlerde görülebilir .Sayı
kavramı geliştikçe


toplama yoluyla


daha büyük sayılar oluşturuldu :2 ile 1 toplanarak 3 , 2 ile
2 toplanarak 4 , 2 ile 3 toplanarak 5 bulundu .





İşte bazı Avustralya kabilelerinden örnek :





Murray Nehri : 1 =enea , 2 =petcheval , 3 =petcheval-enea ,
4 =petcheval - petcheval





Kamilaraoi : 1 =ma , 2 =bulan , 3 =guliba , 4 =bulan bulan ,
5 =bulan guliba , 6 =guliba guliba





Zanaatlerin ve ticaretin gelişmesi sayı kavramının
netleşmesine yardım etti .Sayılar , ticaret yaparken doğal bir yöntem olan bir
ya da iki elin parmakları


kullanılarak daha büyük birimlerin içinde gösterildi .Buna
örnek olarak şimdiki okullarda okuyan küçük sınıflarda ki çocukların sayma
yöntemini verebilirim


.Bu olayın sonucunda önce 5 sonra 10 tabanlı sayı sistemleri
oluşturulup , bunlar toplama ve bazen çıkarma ile tamamlandı .Böylece 12, 10 +
2 olarak ya


da 9 ,10-1 olarak algılandı .Bazen de taban olarak el ve
ayak parmaklarının toplam sayısı olan 20 kullanıldı .Yapılan araştırmalara göre
Amerikan yerlilerinin


kullandığı 307 sayı siteminden 146sı onluk , 106sı onluk ,
onikilik ve yirmilik sayı sistemlerinin karışımıydı .Çoğu kişi tarafından
yamyam olarak bilinen


Amerikan yerlilerinin bu kadar çok sayı sisteminin olması
önce bana biraz garip geldi .Fakat sonra , onların da en az bizim kadar zeki
olduklarını anladım


.Yirmili sayı sisteminin en tipik biçmi Meksikada Mayalar ve
Avrupada Keltler tarafından kullanıldı .





Sayılar kümelere ayrılarak , tahtanın üstüne çentik , ipin
üstüne düğüm atılarak ya da deniz kabuklarının beşli yığınlar biçiminde
düzenlenmesiyle sayısal


kayıtlar tutuldu .Bu yöntemler eski zaman hancılarının
çetele tutma yöntemlerine benziyordu .Böyle yöntemlerden 5 , 10 , 20 gibi özel
simgelere geçilmesi


çok kolay oldu .Benzer simgeler uygarlığın doğuşu da denen
yazılı tarihin başlangıcından beri kullanılmıştır .





Yontama Taş Devrine kadar uzanan en eski çetele çubuğu 1937de
Vestonicada bulunmuştur .Bu ; genç bir kurdun 7 inç uzunluğundaki ön kol
kemiğiydi ve üzerinde


ilk 25i beşli gruplar halinde düzenlenmiş 55 çentik
bulunmaktaydı izinin sonunda , önceki çentiklerden iki kat uzun bir çentik
vardı .Yeni dizinin başındaki


çentik yine 2 kat uzundu ve bunu 30 çentikten oluşan bir
dizi izliyordu .





Böylece , sık sık söylenen eski zamanlarda sayma parmaklara
dayalıydı . görüşü geçerliliğini kaybetmiş oldu .Yazı olmamasına rağmen Yontma
Taş Devrindeki


insanların çetele çubuklarını duymak ilginç gelebilir .Fakat
gerçek .





Parmaklar kullanılarak sayı saymak yani 5erli 10arlı saymak
ancak toplumsal gelişimin belirli bir aşamasında ortaya çıkar .Bu aşamadan
sonra sayılar bir


tabana göre ifade edildi ve bu da büyük sayıların ortaya
çıkmasına yardım etti .Böylece ilkel bir aritmetik ortaya çıktı .14 bazen 10+4
, bazen de 15-1


olarak gösteriliyordu .20nin 10+10 değil de 2´10 olarak
gösterilmesiyle çarpma başladı .Bölme , 10un vücudun yarısı olarak
gösterilmesiyle başladı , ama


kesirlerin bilinçli bir şekilde oluşturulması hala çok
enderdi .Kuzey Amerikada kabilelerin ancak birkaçında böyle kesirler
biliniyordu , çoğu durumda


bu ½ydi .Bazen 1/3





ya da ¼de kullanılıyordu .Bir başka ilginç durum çok büyük
sayılara duyulan ilgidir .Bu belki de tümüyle insana ait bir tutku olan sürünün
büyüklüğü ya


da öldürülen düşmanların çokluğunu abartma isteğinin
sonucudur .Bu eğilimin kalıntıları İncilde ve diğer kutsal metinlerde de ortaya
çıkar .





Tarih Öncesi Çağlarda Geometri


Cisimlerin uzunluklarını ve içindekileri ölçmek gerekince ,
genelde insan vücudunun bölümleri kullanılarak ; parmak , ayak , karış gibi
basit ölçüler kullanıldı


.Arşın , kulaç adları bize bu geleneği hatırlatır .Ev
yaparken Hint köylüleri de , Orta Avrupada kutup evi yapanlar da yapıları düz
çizgiler boyunca ve


yere göre dik açıyla yapmak için kurallar geliştirdiler
.Örneğin ; Düz sözcüğü germek sözcüğü ile ilgilidir ve iple yapılan işlemleri
gösterir oğru ve


Keten kumaş sözcükleri , dokumacılık ile geometrinin
başlangıcı arasındaki bağlantıyı gösterir okumacılık ölçmeye ilişkin ilginin
başlama yollarından biriydi


.





Cilalı Taş Devri insanı geometrik desenlere büyük bir ilgi
duyuyordu .Çömleklerin pişirilmesi ve boyanması , sazların örülmesi , sepet
yapımı ve kumaş


dokumacılığı , daha sonra da metallerin işlenmesi ,
düzlemsel ve alansal ilişkilerin kavranmasını geliştirdi ans figürleri de bunda
rol oynamış olmalı


ki Cilalıtaş Devrinde yapılan süslemelerde benzerlik ve
simetri görülür ; eş şekiller kullanılırdı .Bazı tarih öncesi desenler de
üçgensel sayılar , bazılarında


ise kutsal sayılar yer alıyordu .Pisagor matematiğinde
önemli rol oynayan üçgensel sayıların oluşturulma çabaları yansımaktadır .





Bu tür desenler tarih boyunca yaygın olarak kullanılmıştır
.Bunların çok güzel örneklerine Giritteki Minos ve erken dönem Yunan
vazolarında , daha sonra


Bizans ve Arap moziklerinde , Pers ve Çin duvar halılarında
rastlanır .Bu ilk desenlerin dinsel ya da büyüsel bir anlamı olabilir , ama
zamanla görsel


çekicilikleri ön plana çıkmıştır .





Taş Devri dinlerinde , doğa güçlerine egemen olma çabasının
ilkel bir biçimini fark edebiliriz . Dinsel törenler büyü ile iç içeydi .Büyü
öğesi de o zamanlar


var olan sayı ve biçime ilişkin kavramlarda , heykel , müzik
ve resimlerde içeriliyordu .3,4,7 gibi sihirli sayılar , Pentalpha ve Swastika
gibi sihirli


biçimler vardı .Matematiğin toplumsal kökenleri modern
zamanlarda silikleşmişse de insanlık tarihinin ilk dönemlerinde bu kökler
açıkça görülebilmektedir


ve bazı yazarlar , matematiğin bu yönünün onun gelişiminde
belirleyici olduğu görüşündedir .Modern sayı bilimi , Cilalı hatta belki de
Yontma Taş Devrinin


büyü törenlerinin mirasıdır .





Zaman Kavramı


En ilkel kabilelerde bile bir zaman kavramına rastlanır ve
bunun sonucu olarak da Güneş Ay ve yıldızların hareketleriyle ilgili bazı
bilgileri edinmişlerdi


.Bu bilgiler , çiftçilik ve ticaret geliştikçe daha bilimsel
bir nitelik kazanmaya başladı .Bitkilerdeki değişimlerin Aydaki değişimlerle
ilişkilendirildiği


Ay takviminin kullanılması , insanlık tarihinin çok erken
dönemlerine kadar uzanır .İlkel insanlar gündönümünü ya da şafakta yedi
yıldızlı Süreyya burcunun


yükselişini ilgiyle izliyordu .İlk uygarlıkları kuran
insanların astronomi bilgilerinin kökeni tarih öncesi dönemlerden gelen
bilgilere dayanıyordu .İlk


insanlar , takım yıldızlarından denizcilikte yararlandılar
.Astronomiye ilişkin bu gözlemlerinin sonunda kürenin , dairenin ve açısal
yönlerin özellikleri


hakkında bilgi edinildi .





Matematiğin başlangıcına ilişkin bu birkaç örnek bir bilimin
tarihsel gelişiminin , şimdi bu alandaki öğretimde geliştirdiğimiz aşamalarla
çakışmayabileceğini


göstermektedir .İnsanlarca bilinen en eski geometrik
biçimler olan düğümlere ve desenlere ancak son yıllarda bilimsel bir ilgi
gösterilmiştir .Öte yandan


, grafikle gösterim ya da istatistik gibi matematiğin temel
dallarının başlangıcı modern zamanlardadır .Bir matematikçi olan A. Speiser bu
konuda şöyle


düşünmektedir :





Matematiğe girişin doğasında var olan sıkıcılığın ön plana
çıkma eğiliminin geç başlangıcının sonucu olduğu söylenebilir ; çünkü yaratıcı
bir matematikçi


ilgi çekici ve güzel problemlerle uğraşmayı yeğler .





ESKİ UYGARLIKLARIN MATEMATİKLERİ


Doğu Matematiği





Doğu matematiği uygulamalı bilim kökenliydi .Takvimin
hesaplanması , tarımsal üretim ve bayındırlıkla ilgili işlerin örgütlenmesi ,
vergilerin toplanması


uygulamalı aritmetik ve ölçme sorunlarına öncelikle ağırlık
verilmesini gerektirdi .Bununla birlikte , yüzyıllar boyunca özel bir zanaat
olarak gelişen


bilim yalnızca uygulamaya yönelik değildi ; sırlar
öğretilirken , soyutlamaya yönelik eğilimler de ortaya çıktı .Aritmetiğin
cebire dönüşmesi yalnızca


daha pratik hesaplamalar sağladığı için olmadı ; bu , aynı
zamanda yazıcı okullarında öğretilen bir bilimin doğal bir gelişimiydi .Aynı
nedenlerle ölçme


ile ilgili bilgiler kuramsal geometrinin başlangıcını
oluşturdu .





Mısır Matematiği


Mısır matematiğine ilişkin bilgilerimizin çoğu iki kaynağa
dayanır .Bunlar 85 problemi içeren Rhind Papirüsü ve bundan belki de 200 yıl
öncesine ait olan


ve 25 problemi kapsayan Moscow Papürüsüdür .Bu elyazmaları
düzenlenirken , içerdikleri problemler zaten eskiden beri biliniyordu ; ama
yakın dönemden ,


hatta Roma döneminden kalma az sayıdaki papirüsteki
yöntemler de bundan farklı değildi .Kullandıkları matematik onlu sayı sistemine
dayanıyordu ve 10dan


büyük her 10lu birim için özel simgeler kullanılıyordu .Bu
tür sistemleri Roma rakamlarından biliyoruz : MDCCCLXXVII = 1878 .Bu sistemi
kullanan Mısırlılar


, çarpmayı ardışık toplamalara indirgeyen , toplama
ağırlıklı bir aritmetik geliştirdi .Örneğin , bir sayıyı 13 ile çarpmak için
onu önce 4 ve 8le çarpıyorlardı


daha sonra çıkan sonucu sayının kendisine ekliyorlardı .Bu
işlemi yaparak inceleyelim :





Normal çarpma işlemi :3´13=39





Mısırlıların kullandığı yöntem :





3´4 =12





3´8 =24





24+12 =36





36+3 =39





Görüldüğü gibi sonuç aynı .Mısır matematiğinin en önemli
yönü kesirlerle yapılan hesaplamalardır .Bütün kesirler , payı bir olan birim
kesirlerin toplamı


olarak yazılırdı .





Bazı problemlerin teorik yanları ağır basıyordu .Örneğin 100
somun ekmeği 5 kişi arasında , her birine düşen pay aritmetik olarak artarak ve
en büyük 3


payın toplamının yedide biri en küçük iki payın toplamına
eşit olacak biçimde bölüştürülmesi problemi böyleydi .7 evin her birinin 7
kedisi , her kedinin


kovaladığı 7 farenin olduğu problem , geometrik olarak artan
bir serinin toplamının formülünü bildiklerini gösteriyordu .





Böyle problemler için yazılmış şiirler , şarkılar bile
vardır .Şu şiiri anımsayalım :





St. Ivese giderken





7 karısı olan bir adamla karşılaştım





Her karısının yedi sepeti


Her sepetin yedi kedisi





Her kedinin yedi yavrusu vardı


Her yavrununda yedi çıngırağı vardı





Yavrular , kediler , sepetler , kadınlar ve çıngıraklar





Kaç tanesi St. Ivese gidiyordu ?





Mezopotamya Matematiği


Mezopotamya matematiği , Mısır matematiğinin hiçbir dönemde
ulaşamadığı bir düzeye erişti .Burada yüzyıllar içinde bile ilerlemeyi fark
edebiliriz .M.Ö


2100deki en eski metinlerde bile gelişmiş hesap izleri
bulunur .Bu metinlerde 10lu sistemin üzerine 60lı sistemin eklendiği çarpım
tabloları bulunmaktaydı


.1 , 60 , 3600 ; hatta 60 üstü ve 60 üstü 2yi gösteren
çiviyazısı simgeler kullanılmıştı .Ama bu onların matematiğinin tipik özelliği
değildi .Mısırlılar


daha büyük her sayıyı yeni bir simge ile gösterirken , Sümerliler
aynı simgeyi kullanıp değerini bulunduğu yere göre belirliyorlardı .





Ayrıca 60lı sayı sistemi insanlığın kalıcı bir kazanımı oldu
.Günümüzde kullandığımız saatin 60 dakika ve 3600 saniyeye bölünmesinin de ,
dairenin 360


dereceye , her derecenin 60 dakikaya , her dakikanın da 60
saniyeye bölünmesinin kökeni de Sümerlilere kadar uzanır .Birim olarak 10
yerine 60ın alınmasının


sebebi ölçme sistemlerini birleştirmek olabileceği gibi 60ın
birçok böleninin olması da nedenlerden biri olabilir .





MISIR HİYEROGLİFLERİ


Eğer yazılarınızı eski Mısır hiyeroglifleriyle yazarsanız
çoğu kişi bunları okumaya çalışmaktan vazgeçecektir .





Eski Mısır Hiyerogliflerinden Mısır rakamlarını öğrenmek çok
kolaydır ; çünkü hepsinin bir görsel anlamı vardır .Büyük bir olasılıkla yazı
yazmaya başlamadan


once Mısırlılar , sayı saymak için parmaklarını
kullanıyorlardı .Başka birinin okuması için sayı düzenlemeleri gerektiğinde de
, yine büyük bir olasılıkla


, yan yana sıralanmış yapraklar , ip parçaları ve çiçekler
bırakıyorlardı .Neden mi böyle düşünüyoruz ? Çünkü daha sonradan hiyeroglif
yazı sistemini geliştirdiklerinde


, yaprak ip parçaları , çiçek ve hatta yılan ve iribaşlar
kullanmışlar .